Nauka › Sposoby liczenia w pamięci

Liczenie w pamięci

Sposoby na liczenie w pamięci, które naprawdę działają

Liczenie w pamięci (w szkole mówi się też o rachunku pamięciowym) nie polega na tym, żeby być żywym kalkulatorem. Chodzi o kilka sprawdzonych sposobów, dzięki którym jedno groźnie wyglądające działanie zamienia się w dwa albo trzy wygodne. Dzieci poznają je w szkole od klasy 1. Tutaj opisujemy je pod nazwami, których używają nauczyciele. Dorosłym przydają się dokładnie tak samo.

Szkoła stawia na nie od samego początku. W nowej podstawie programowej, która od roku szkolnego 2026/2027 stopniowo wchodzi do kolejnych klas, dzieci w klasach 1–3 dodają i odejmują „w pamięci lub stosując zapisy wyników cząstkowych”, a w klasach 4–6 liczą „w pamięci lub z zapisem obliczeń pośrednich”. Jest tam też zdanie ważne dla każdego rodzica: uczeń „tworzy i stosuje własne strategie obliczeń”. Nie ma więc jednego słusznego sposobu. Oto osiem najczęstszych, każdy z rozwiązanymi przykładami.

1. Przekraczanie progu dziesiątkowego

Żeby dodać 8 + 5, rozkładamy 5 na 2 i 3: 8 + 2 = 10, a 10 + 3 = 13. W zeszycie zapisuje się to krótko: 8 + 5 = 8 + 2 + 3 = 13. Nauczyciele nazywają to przekraczaniem progu dziesiątkowego i to najprzydatniejszy nawyk przy dodawaniu. Opiera się na rozkładzie liczb i dopełnianiu do 10: dziecko musi wiedzieć bez liczenia, że od 8 do 10 brakuje 2.

Tak samo działa to przy większych liczbach (47 + 6 = 47 + 3 + 3 = 53) i przy odejmowaniu, gdy najpierw schodzimy do pełnej dziesiątki: 13 − 5 = 13 − 3 − 2 = 8.

2. Rozkładanie na dziesiątki i jedności

Liczby rozbijamy na dziesiątki i jedności. 46 + 37 to 40 + 30 = 70 oraz 6 + 7 = 13, a razem 70 + 13 = 83. W pamięci najwygodniej zacząć od dziesiątek, od lewej do prawej, w tej samej kolejności, w jakiej czytamy liczbę. To odwrotnie niż w słupku, gdzie zaczyna się od jedności.

Przy odejmowaniu zwykle lepiej rozłożyć tylko drugą liczbę: 72 − 35 = 72 − 30 − 5 = 42 − 5 = 37. Tak unika się typowego błędu: dziecko liczy 70 − 30 = 40, w jednościach „5 − 2 = 3”, choć tam jest 2 − 5, i podaje 43 zamiast 37.

3. Liczby prawie podwójne

Podwojenia dzieci zapamiętują szybko (6 + 6 = 12, 7 + 7 = 14), a potem korzystają z nich przy liczbach sąsiednich. 7 + 8 to 7 + 7 i jeszcze 1, czyli 15. Można też wziąć 8 + 8 i odjąć 1, co również daje 15. Przy większych liczbach jest tak samo: 25 + 26 to podwojone 25 i jeszcze 1, czyli 51, a 35 + 34 to podwojone 35 bez 1, czyli 69.

4. Zaokrąglanie i poprawianie

Dodać 9 to dodać 10 i odjąć 1: 47 + 9 = 47 + 10 − 1 = 56. To samo działa z 19, 49 czy 99: 49 + 26 = 50 + 26 − 1 = 75, a 365 + 99 = 465 − 1 = 464. Przy odejmowaniu robimy odwrotnie: odejmujemy 10 i oddajemy 1. 52 − 9 = 52 − 10 + 1 = 43.

To idealny sposób na ceny, które kończą się na 99 groszy. Zeszyt za 3,99 zł i blok rysunkowy za 5,99 zł to prawie 4 zł + 6 zł = 10 zł. Każdy kosztuje o 1 grosz mniej, więc razem płacimy 10 zł − 2 gr = 9,98 zł.

Najczęstszy błąd to poprawka w złą stronę: skoro wzięliśmy za dużo, teraz trzeba odjąć, a nie dodać. Pomaga krótkie pytanie: „Wzięliśmy za dużo czy za mało?”.

5. Doliczanie przy odejmowaniu

Przy 62 − 38 zamiast odejmować, doliczamy od 38 do 62: 2 do 40 i jeszcze 22 do 62. Różnica to 2 + 22 = 24. Ten sposób sprawdza się świetnie, gdy liczby leżą blisko siebie. Przy 1003 − 997 od 997 brakuje 3 do 1000 i jeszcze 3 do 1003, więc wynik to 6. Odejmowanie pisemne wymagałoby tu pożyczania przez dwa zera.

W ten sposób wygodnie liczy się też resztę w sklepie. Chleb kosztuje 6,35 zł, a płacisz banknotem 10 zł. Doliczamy od 6,35 zł: 5 gr do 6,40 zł, 60 gr do 7 zł i 3 zł do 10 zł. Reszta to 3,65 zł. Doliczanie to zresztą bliski krewny sprawdzenia, które dzieci znają ze szkoły: odejmowanie sprawdza się dodawaniem, bo 38 + 24 = 62.

6. Podwajanie i połowienie

Żeby pomnożyć przez 4, podwajamy dwa razy. Przy 17 · 4: podwojone 17 to 34, a podwojone 34 to 68. Przy mnożeniu przez 8 podwajamy trzy razy: podwojone 6 to 12, podwojone 12 to 24, a podwojone 24 to 48, więc 6 · 8 = 48. Przy mnożeniu przez 5 mnożymy przez 10 i bierzemy połowę: 46 · 5 = 460 : 2 = 230.

Można też jedną liczbę podzielić na pół, a drugą podwoić, bo iloczyn się nie zmienia: 16 · 25 = 8 · 50 = 4 · 100 = 400. W klasach 4–6 to samo działa z ułamkami dziesiętnymi: 3,5 · 4 = 7 · 2 = 14.

7. Triki z 9 i 11

Mnożenie przez 9 to mnożenie przez 10 i odjęcie tej liczby: 9 · 7 = 70 − 7 = 63, a 9 · 8 = 80 − 8 = 72. Przy powtarzaniu mnożenia przez 9 przydaje się jeszcze ciekawostka: od 9 · 2 do 9 · 10 cyfry każdego wyniku dają razem 9 (63: 6 + 3 = 9; 72: 7 + 2 = 9).

Mnożenie przez 11 to mnożenie przez 10 i dodanie tej liczby jeszcze raz: 11 · 14 = 140 + 14 = 154, a 11 · 23 = 230 + 23 = 253. Szkolna tabliczka mnożenia kończy się na 10 · 10, więc mnożenia przez 11 zwykle nie uczy się na pamięć, tylko wylicza się je właśnie tak. Za oboma trikami stoi rozdzielność mnożenia, czyli rozbijanie liczby na wygodne części. Tak samo 16 · 5 = 10 · 5 + 6 · 5 = 50 + 30 = 80. Dorośli mogą pójść dalej: 99 · 6 = 600 − 6 = 594.

8. Parzystość i ostatnia cyfra

Dwie liczby nieparzyste zawsze dają w sumie liczbę parzystą, a liczba nieparzysta dodana do parzystej zawsze daje nieparzystą. W mnożeniu wystarczy, że jeden czynnik jest parzysty, a iloczyn też będzie parzysty: 6 · 13 nie może dać 79 (daje 78). Ostatnia cyfra sumy zależy tylko od ostatnich cyfr składników: 47 + 38 musi kończyć się na 5, bo 7 + 8 = 15, więc 84 to zły wynik. Dobry to 85.

Takie sprawdzenia nie podają wyniku, ale od razu ostrzegają, że coś jest nie tak. Liczby parzyste i nieparzyste pojawiają się już w klasach 1–3, a w klasach 4–6 prowadzą do cech podzielności: liczba dzieli się przez 2, jeśli kończy się na 0, 2, 4, 6 lub 8, a przez 5, jeśli kończy się na 0 lub 5.

W której klasie dzieci poznają te sposoby?

Traktuj tabelę orientacyjnie. Podstawa programowa mówi, co dziecko ma umieć na koniec klasy 3 i na koniec klasy 6, a podział na poszczególne lata zależy od programu nauczania i podręcznika. Każdy sposób wraca też w kolejnych klasach, z coraz większymi liczbami.

W zeszycie te sposoby wyglądają jak łańcuszek równości, który podstawa programowa nazywa zapisem obliczeń pośrednich: 47 + 38 = 47 + 30 + 8 = 77 + 8 = 85. To pełnoprawny sposób liczenia, także w klasie 4, kiedy pojawiają się działania pisemne, potocznie „słupki”. Nowa podstawa nie wymaga już tradycyjnych algorytmów pisemnych, choć większość podręczników do klasy 4 nadal ich uczy. W domu trzymaj się zapisu, którego dziecko używa w szkole.

Wszystkie naraz: zagadka z plastra miodu

Łamigłówki Beequation wykorzystują wszystkie te sposoby jednocześnie. W każdym plastrze jedna liczba jest sumą dwóch innych. Żeby szybko ją znaleźć, patrzysz na ostatnie cyfry, myślisz o parzystości i przekraczasz próg dziesiątkowy, prawie tego nie zauważając. Spróbuj z tym plastrem:

Szybkie odpowiedzi

Zobacz też