Nauka › Tematy › Mnożenie i dzielenie

Poradnik tematyczny

Mnożenie i dzielenie

Mnożenie to szybki sposób na dodawanie równych grup: 3 · 4 („trzy razy cztery”) to 3 grupy po 4, czyli 4 + 4 + 4 = 12. Dzielenie jest działaniem odwrotnym: rozdziela całość na równe części. 12 : 3 = 4 czytamy „dwanaście podzielić przez trzy równa się cztery”. Dzieci uczą się obu działań razem: najpierw dzielą się po równo cukierkami i liczą dwójkami, potem poznają tabliczkę mnożenia, a od klasy 4 liczą duże liczby pisemnie, w słupkach.

W polskiej szkole mnożenie zapisuje się kropką (·), a dzielenie dwukropkiem (:), i tak piszemy na tej stronie. Znak × dziecko zna raczej z kalkulatora i z gier, a ÷ zobaczy najwyżej na klawiszu kalkulatora.

Czego dzieci uczą się w kolejnych klasach

Podstawa programowa nie rozpisuje matematyki na poszczególne lata. Mówi, co dziecko ma umieć na koniec klasy 3, a potem podaje jedną listę wymagań dla klas 4–6. Podział na klasy to już sprawa programu nauczania i podręcznika. Od roku szkolnego 2026/2027 stopniowo wchodzi nowa podstawa programowa; w mnożeniu i dzieleniu najważniejsza zmiana dotyczy działań pisemnych (piszemy o tym niżej). Tabela pokazuje, jak to zwykle wygląda w praktyce.

Najważniejsze pojęcia

1. Mnożenie to równe grupy, a kolejność czynników nie ma znaczenia

Przedmioty ułożone w równych rzędach to najlepszy obrazek do całego tematu. Obróć rysunek z kropkami o ćwierć obrotu: 3 rzędy po 4 zamienią się w 4 rzędy po 3, a kropek nadal będzie 12. Dlatego 3 · 4 = 4 · 3. To przemienność mnożenia i dobra wiadomość dla dziecka: każde działanie, które zapamięta, daje mu drugie w prezencie. Liczby, które mnożymy, to czynniki, a wynik to iloczyn. Warto od początku pokazać też dwa szczególne przypadki: mnożenie przez 1 niczego nie zmienia (7 · 1 = 7), a mnożenie przez 0 zawsze daje 0 (7 · 0 = 0).

2. Dzielenie to podział albo mieszczenie

Podstawa programowa mówi o dwóch rodzajach dzielenia i dzieci poznają oba. Podział: 12 cukierków dzielimy po równo między 3 dzieci. Ile dostanie każde? Po 4. Mieszczenie: 12 cukierków pakujemy do torebek po 3. Ile torebek zapełnimy? Też 4. Wynik ten sam, ale pytanie inne, a w zadaniach tekstowych dziecko musi rozpoznać, o co chodzi. Liczba, którą dzielimy, to dzielna, liczba, przez którą dzielimy, to dzielnik, a wynik to iloraz.

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia, więc najszybciej policzyć 56 : 8, pytając: „osiem razy ile daje 56?”. Odpowiedź: 7, bo 7 · 8 = 56. To mnożenie jest od razu sprawdzeniem wyniku.

3. Tabliczka mnożenia w zakresie 100

„Mała” tabliczka mnożenia to wszystkie iloczyny od 1 · 1 do 10 · 10. Podstawa programowa wymaga, żeby na koniec klasy 3 dziecko mnożyło i dzieliło „w zakresie tabliczki mnożenia”, a w praktyce chodzi o to, by znało ją na pamięć. Zwykle zaczyna się ją w klasie 2 i utrwala w klasie 3. „Duża” tabliczka (mnożenie liczb od 11 do 20) nie jest obowiązkowa; to dodatek dla chętnych. Pomysły na powtórki znajdziesz w poradniku o ćwiczeniu tabliczki mnożenia.

Do zapamiętania jest mniej, niż się wydaje. Dzięki przemienności ze stu działań zostaje 55 różnych, a wiele z nich wynika z innych. Mnożenie przez 4 to podwojone mnożenie przez 2, a mnożenie przez 8 to podwojone mnożenie przez 4. Mnożenie przez 5 to połowa mnożenia przez 10: 7 · 5 to połowa z 70, czyli 35. 9 · 7 to 10 · 7 minus 7: 70 − 7 = 63. A gdy dziecko zapomni 7 · 8, może je rozłożyć: 7 · 8 = 5 · 8 + 2 · 8 = 40 + 16 = 56. W wynikach mnożenia przez 9, aż do 9 · 10, cyfry dają razem 9: 18, 27, 36, 45… Recytowanie po kolei („dwa razy jeden – dwa, dwa razy dwa – cztery…”) pomaga na początku, ale dziecko musi znać działania także na wyrywki.

4. Reszta oraz pytania „o ile” i „ile razy”

Nie każde dzielenie wychodzi równo. Gdy 17 cukierków pakujemy po 5 do torebki, zapełniamy 3 torebki i 2 cukierki zostają. W szkole zapisuje się to tak: 17 : 5 = 3 r. 2 („trzy reszty dwa”). Reszta musi być mniejsza od dzielnika, bo inaczej zmieściłaby się jeszcze jedna torebka. Sprawdzenie: 3 · 5 + 2 = 17.

W zadaniach tekstowych trzeba pomyśleć, co ta reszta znaczy. Na wycieczkę jedzie 30 dzieci, a bus ma 8 miejsc: 30 : 8 = 3 r. 6, więc potrzebne są 4 busy, a nie 3. Zeszyt w papierniczym kosztuje 3 zł, a Ola ma 10 zł: kupi 3 zeszyty, a złotówka, która jej zostanie, na czwarty nie wystarczy.

Druga ważna sprawa to różnica między „o ile” a „ile razy”. Zuzia ma 12 naklejek, a Kuba 4. O ile więcej naklejek ma Zuzia? O 8, bo 12 − 4 = 8: to porównanie różnicowe, czyli odejmowanie. Ile razy więcej? 3 razy, bo 12 : 4 = 3: to porównanie ilorazowe, czyli dzielenie. W zadaniach tekstowych te dwa pytania wracają co roku, a w klasie 4 podręczniki często poświęcają im osobną lekcję. Gdy dziecko je myli, pomaga pytanie: „szukamy różnicy czy tego, ile razy jedna liczba mieści się w drugiej?”.

5. Słupki: mnożenie i dzielenie pisemne

Od klasy 4 dzieci liczą duże liczby pisemnie, w zeszycie w kratkę: jedna cyfra w jednej kratce, jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami. Nowa podstawa programowa nie wymaga już tradycyjnych algorytmów (dziecko może na przykład liczyć w pamięci z zapisem obliczeń pośrednich), ale podręczniki do klasy 4 nadal uczą słupków. Uczniowie klas 5 i 6, którzy w roku szkolnym 2026/2027 uczą się jeszcze według dotychczasowej podstawy, muszą znać działania pisemne. Jeśli Ty liczysz inaczej niż nauczyciel, w domu trzymajcie się sposobu z zeszytu dziecka; więcej o tym w poradniku jak dziś uczy się matematyki.

Mnożenie przez liczbę jednocyfrową zaczyna się od jedności. Przy 234 · 3 dziecko mówi: „3 razy 4 to 12, piszę 2, 1 przenoszę. 3 razy 3 to 9, i 1 to 10, piszę 0, 1 przenoszę. 3 razy 2 to 6, i 1 to 7”. Wynik: 702.

Mnożenie przez liczbę dwucyfrową to dwa takie mnożenia i dodawanie. Przy 234 · 23 najpierw liczymy 234 · 3 = 702. Potem 234 · 2 = 468, ale ten wynik zapisujemy o jedną kratkę w lewo, bo dwójka w liczbie 23 to 2 dziesiątki: tak naprawdę liczymy 234 · 20 = 4680. Na koniec dodajemy: 702 + 4680 = 5382.

Gdy czynniki kończą się zerami, podręczniki uczą sprytnego skrótu. Przy 230 · 40 zera „wystają” w prawo poza słupek, mnożymy tylko 23 · 4 = 92 i dopisujemy oba zera: 9200.

Dzielenie pisemne wygląda w polskim zeszycie tak: dzielna, dwukropek i dzielnik w jednym wierszu, iloraz nad kreską, nad dzielną, a pod spodem kolejne odejmowania. Przy 857 : 4 dziecko mówi: „8 podzielić przez 4 to 2. 2 razy 4 to 8, 8 odjąć 8 to 0. Spisuję 5: 5 przez 4 to 1, 1 razy 4 to 4, zostaje 1. Spisuję 7: 17 przez 4 to 4, 4 razy 4 to 16, zostaje 1”.

Wynik: 857 : 4 = 214 r. 1. Sprawdzenie: iloraz razy dzielnik plus reszta musi dać dzielną, a tu 214 · 4 + 1 = 856 + 1 = 857. Gdy reszta wynosi 0, mówimy, że dzielenie wychodzi bez reszty, jak 12 : 3 = 4.

6. Podzielność, liczby pierwsze, NWD i NWW

W klasach 4–6 pojawiają się nowe słowa. Dzielniki liczby to liczby, przez które dzieli się ona bez reszty: dzielniki 12 to 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Zawsze tworzą pary: 1 · 12, 2 · 6 i 3 · 4. Wielokrotności liczby to kolejne wyniki mnożenia przez nią, bez końca: wielokrotności 6 to 6, 12, 18, 24… Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Liczby pierwsze mniejsze od 20 to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19. Liczby większe od 1, które nie są pierwsze, to liczby złożone, a 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona.

Cechy podzielności oszczędzają dziecku liczenia. Liczba dzieli się przez 2, gdy kończy się cyfrą 0, 2, 4, 6 lub 8; przez 5, gdy kończy się na 0 lub 5; przez 10, gdy kończy się zerem. Przez 4 dzieli się wtedy, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 (w 316 to 16, więc 316 : 4 = 79). Przez 3, gdy suma cyfr dzieli się przez 3 (471: 4 + 7 + 1 = 12, więc 471 : 3 = 157), a przez 9, gdy suma cyfr dzieli się przez 9 (738: 7 + 3 + 8 = 18, więc 738 : 9 = 82).

Każdą liczbę złożoną można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych. To rozkład na czynniki pierwsze, który w zeszycie zapisuje się zwykle w słupku z pionową kreską:

Zwykle w klasie 6 przychodzą NWW i NWD. Hania chodzi na basen co 4 dni, a Antek co 6. Dziś spotkali się na basenie, a następnym razem spotkają się tam za 12 dni, bo 12 to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 4 i 6: NWW(4, 6) = 12. A jeśli chcesz rozłożyć 12 krówek i 18 landrynek do jednakowych torebek tak, żeby nic nie zostało, możesz przygotować najwyżej 6 torebek, w każdej 2 krówki i 3 landrynki, bo 6 to największy wspólny dzielnik liczb 12 i 18: NWD(12, 18) = 6.

Do tego dochodzą potęgi: kwadrat liczby to jej iloczyn przez samą siebie (5² = 5 · 5 = 25), a sześcian to trzy takie same czynniki (2³ = 2 · 2 · 2 = 8). I kolejność wykonywania działań: najpierw nawiasy, potem potęgi, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Dlatego 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14, a (2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20.

Typowe błędy

• „Dopisz zero” przy mnożeniu przez 10: działa przy 25 · 10 = 250, ale nie przy 2,5 · 10, co daje 25, a nie 2,50. W rzeczywistości każda cyfra przesuwa się o jedno miejsce w lewo. Przy ułamkach dziesiętnych w szkole mówi się o tym odwrotnie: przecinek przesuwamy o jedno miejsce w prawo.
• Drugi wiersz bez przesunięcia: jeśli 468 z mnożenia 234 · 23 zapisze się równo pod 702, suma wyjdzie 1170 zamiast 5382.
• Zgubione zero w ilorazie: w 824 : 4 po spisaniu dwójki wychodzi „2 przez 4 to 0” i to zero trzeba zapisać w ilorazie. Wynik to 206, a nie 26. Sprawdzenie od razu pokaże błąd: 26 · 4 = 104, a nie 824.
• Za duża reszta: 30 : 8 = 2 r. 14. Reszta musi być mniejsza od dzielnika. Jeśli nie jest, dzielnik zmieści się jeszcze raz: 30 : 8 = 3 r. 6.

Gry na pięć minut do domu

• Polowanie na rzędy. Szukajcie w domu rzeczy ułożonych w równych rzędach: wytłaczanka na 10 jajek to 2 rzędy po 5, czyli 2 · 5 = 10. Tabliczka czekolady, płytki w łazience, okna w bloku i pierogi na talerzu (3 rzędy po 8 to 24) też się liczą.
• Piłka z tabliczką. Rzucajcie sobie piłkę i przy każdym złapaniu mówcie kolejną liczbę, licząc co 3 (albo co tyle, ile akurat ćwiczycie). Potem w drugą stronę, w dół.
• Sprawiedliwy podział. Rozdzielcie po równo winogrona, makaron albo grosze ze skarbonki między domowników. Coś zostało? To właśnie reszta.
• Z której tabliczki? Podaj liczbę, a dziecko szuka wszystkich działań z tabliczki mnożenia, które ją dają. Dla 24 to 3 · 8 i 4 · 6 (i na odwrót).
• Dwie kostki. Rzućcie dwiema kostkami do gry i pomnóżcie oczka. Kto pierwszy poda iloczyn, zdobywa punkt. Najwięcej da się zdobyć przy dwóch szóstkach: 6 · 6 = 36.

Darmowe karty pracy: mnożenie i dzielenie

Wydrukuj je do ćwiczeń w domu albo w klasie. Każda karta ma odpowiedzi na drugiej stronie.

Mnożenie przez 2, 5 i 10Klasa 2, Klasa 3 · Tabliczka mnożenia na wyrywkiPobierz PDF

Mnożenie przez 3, 4 i 8Klasa 3 · Tabliczka mnożenia na wyrywkiPobierz PDF

Dzielenie w zakresie tabliczki mnożeniaKlasa 3, Klasa 4 · Dzielimy z pomocą tabliczki mnożeniaPobierz PDF

Mnożenie pisemneKlasa 4 · Liczby trzycyfrowe przez jednocyfrowePobierz PDF

Szybkie odpowiedzi

Ucz się dalej