Nauka › Klasy › Klasa 5

Przewodnik po klasie

Matematyka w klasie 5: czego uczy się Twoje dziecko (11–12 lat)

Klasa 5 to klasa dzieci w wieku 11–12 lat: w roku szkolnym 2026/2027 chodzą do niej dzieci urodzone w 2015 roku. To drugi rok matematyki jako osobnego przedmiotu. Wielka zmiana, czyli przejście z nauczania wczesnoszkolnego do nauki przedmiotowej, jest już za dzieckiem: zna oceny od 1 do 6, sprawdziany i kartkówki, a zwykle też swojego nauczyciela matematyki. Za to materiału przybywa. W wielu podręcznikach klasa 5 to rok ułamków: zwykłe i dziesiętne dzieci dodają, odejmują, mnożą i dzielą na wszystkie sposoby. Do tego dochodzą cechy podzielności, liczby pierwsze, kąty w trójkątach i czworokątach oraz pola figur.

Nad czym pracują piątoklasiści

W klasie 4 dzieci poznały działania pisemne, czyli „słupki”. Ułamki zwykłe dodawały i odejmowały tylko przy tych samych mianownikach, a dziesiętne w najprostszych przypadkach. Klasa 5 idzie o krok dalej. Dzielenie pisemne obejmuje dzielniki dwu- i trzycyfrowe, ułamki o różnych mianownikach trzeba sprowadzić do wspólnego mianownika, a przy ułamkach dziesiętnych dochodzą mnożenie i dzielenie. Wszystko to opiera się na tabliczce mnożenia: dziecko, które zna ją na pamięć, pracuje w klasie 5 dużo sprawniej.

W geometrii dzieci poznają rodzaje trójkątów i czworokątów, sumy ich kątów i wzory na pola. Do jednostek pola dochodzą ar i hektar, a w wielu podręcznikach pojawiają się też graniastosłupy i pierwsze liczby ujemne.

Co mówi podstawa programowa

Podstawa programowa nie rozpisuje matematyki na poszczególne lata. Dla klas 4–6 podaje jedną wspólną listę wymagań, a o tym, co trafia do klasy 5, decydują program nauczania i podręcznik. W roku szkolnym 2026/2027 piątoklasiści uczą się jeszcze według dotychczasowej podstawy programowej (z 2017 roku, w wersji odchudzonej w 2024 roku). Ta podstawa wymaga działań pisemnych: dziecko ma dodawać i odejmować liczby wielocyfrowe „sposobem pisemnym” oraz mnożyć i dzielić je pisemnie przez liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe.

Od roku szkolnego 2026/2027 stopniowo wchodzi nowa podstawa programowa. Klasę 5 obejmie w roku 2027/2028, czyli dzieci, które teraz chodzą do klasy 4. Większość tematów zostaje taka sama. Zmienia się kilka rzeczy: tradycyjne algorytmy działań pisemnych nie są już obowiązkowe (obliczenia z zapisem wyników pośrednich są równie dobre), a w klasach 4–6 dochodzą średnia arytmetyczna, układ współrzędnych i moduł ekonomiczno-finansowy, czyli budżet, oszczędzanie i porównywanie ofert. W której klasie dokładnie, zdecydują nowe podręczniki. Poniżej opisujemy to, co w klasie 5 jest najczęstsze. Jeśli podręcznik Twojego dziecka ma inną kolejność, liczy się to, co mówi nauczyciel matematyki.

Liczby naturalne i podzielność

• Cechy podzielności, czyli sposoby, by bez dzielenia sprawdzić, czy liczba dzieli się bez reszty. Przy 2, 5 i 10 decyduje ostatnia cyfra: przez 2 dzielą się liczby parzyste, przez 5 liczby zakończone cyfrą 0 lub 5, a przez 10 liczby zakończone zerem. Przez 100 dzielą się liczby zakończone dwoma zerami.
• Przez 4 dzieli się liczba, której dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4: 1316 tak, bo 16 dzieli się przez 4 (1316 : 4 = 329). Przy 3 i 9 decyduje suma cyfr: w 2385 to 2 + 3 + 8 + 5 = 18, więc 2385 dzieli się i przez 3, i przez 9 (2385 : 9 = 265).
• Liczby pierwsze mają dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Liczby pierwsze mniejsze od 30 to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i 29. Pozostałe liczby większe od 1 to liczby złożone, a 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona.
• Rozkład na czynniki pierwsze, zapisywany w zeszycie w słupku z pionową kreską: 84 = 2 · 2 · 3 · 7.
• Dzielniki i wielokrotności: dzielniki 18 to 1, 2, 3, 6, 9 i 18, a wspólne dzielniki 12 i 18 to 1, 2, 3 i 6. Największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) przychodzą zwykle w klasie 6.
• Zaokrąglanie i szacowanie: 247 385 to w przybliżeniu 250 000 (do dziesiątek tysięcy). Przed mnożeniem warto oszacować wynik: 487 · 21 to mniej więcej 500 · 20 = 10 000.
• W części podręczników pierwsze liczby ujemne: termometr za oknem rano pokazuje −3 °C, a w południe 4 °C, więc temperatura wzrosła o 7 stopni.

Mnożenie i dzielenie pisemne

• Mnożenie pisemne przez liczby dwu- i trzycyfrowe: 34 · 26 = 884 (34 · 6 = 204, pod spodem 34 · 2 = 68 przesunięte o jedną kratkę w lewo, razem 884).
• Mnożenie i dzielenie liczb zakończonych zerami: 230 · 40 = 9200 (liczymy 23 · 4 = 92 i dopisujemy dwa zera), a 4800 : 60 = 480 : 6 = 80.
• Dzielenie pisemne przez liczby dwu- i trzycyfrowe, także z resztą: 864 : 24 = 36, 1500 : 125 = 12, 950 : 24 = 39 r. 14.
• Sprawdzanie dzielenia mnożeniem: 39 · 24 + 14 = 936 + 14 = 950.

Dzielenie przez liczbę dwucyfrową zapisuje się tak samo jak przez jednocyfrową: iloraz nad kreską, dzielna, dwukropek i dzielnik w jednym wierszu, a pod spodem kolejne odejmowania. Nowa trudność to zgadywanie kolejnej cyfry ilorazu. Przy 864 : 24 dziecko mówi: „8 to mniej niż 24, więc biorę 86. Ile razy 24 mieści się w 86? Szacuję: 80 przez 20 to 4, ale 4 · 24 = 96, za dużo. Biorę 3: 3 · 24 = 72, 86 odjąć 72 to 14. Spisuję 4: 144 przez 24 to 6, bo 6 · 24 = 144. Zostaje 0”.

Według nowej podstawy, która obejmie klasę 5 od roku 2027/2028, tradycyjny słupek nie będzie już obowiązkowy, a obliczenia z zapisem wyników pośrednich będą równie dobre, na przykład 34 · 26 = 34 · 20 + 34 · 6 = 680 + 204 = 884. W domu trzymaj się tego zapisu, którego używa nauczyciel Twojego dziecka. Więcej piszemy o tym w przewodniku o tym, jak dziś uczy się matematyki.

Ułamki zwykłe

• Skracanie i rozszerzanie ułamków: ¹²⁄₁₈ = ⅔ (licznik i mianownik dzielimy przez 6), ¾ = ⁹⁄₁₂ (licznik i mianownik mnożymy przez 3). Wartość ułamka się nie zmienia.
• Porównywanie ułamków po sprowadzeniu do wspólnego mianownika: ⅔ = ⁸⁄₁₂, a ¾ = ⁹⁄₁₂, więc ¾ jest większe od ⅔.
• Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach: ⅔ + ¼ = ⁸⁄₁₂ + ³⁄₁₂ = ¹¹⁄₁₂. Także liczb mieszanych: 2½ − 1⅓ = 2³⁄₆ − 1²⁄₆ = 1⅙.
• Zamiana liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe i odwrotnie: 2¼ = ⁹⁄₄, a ¹¹⁄₄ = 2¾.
• Mnożenie: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik, a na koniec skracanie: ⅔ · ¾ = ⁶⁄₁₂ = ½. Ułamek razy liczba naturalna: ¾ · 3 = ⁹⁄₄ = 2¼.
• Ułamek danej liczby: ¾ z 20 zł to 15 zł, bo 20 : 4 = 5, a 5 · 3 = 15.
• Dzielenie: mnożymy przez odwrotność dzielnika. ½ : ¼ = ½ · 4 = 2, bo w połówce mieszczą się dwie ćwiartki. Liczby mieszane najpierw zamieniamy na ułamki niewłaściwe: 2½ : 1¼ = ⁵⁄₂ : ⁵⁄₄ = ⁵⁄₂ · ⁴⁄₅ = ²⁰⁄₁₀ = 2.

Najwięcej kłopotu sprawia zwykle wspólny mianownik. Pomaga konkretny obrazek: szarlotka pokrojona na 3 kawałki i druga, taka sama, pokrojona na 4. Trudno powiedzieć, ile to razem, dopóki nie pokroimy obu ciast na jednakowe części, tu na 12.

Ułamki dziesiętne

• Części dziesiąte, setne i tysięczne: w 0,375 są 3 części dziesiąte, 7 setnych i 5 tysięcznych.
• Porównywanie: 0,5 jest większe od 0,45, bo 0,5 = 0,50, a 50 setnych to więcej niż 45 setnych.
• Dodawanie i odejmowanie pisemne, „przecinek pod przecinkiem”: 12,5 + 3,75 = 16,25, a 10 − 2,35 = 7,65 (dziesiątkę zapisujemy jako 10,00).
• Mnożenie i dzielenie przez 10, 100 i 1000, czyli przesuwanie przecinka w prawo albo w lewo: 3,7 · 100 = 370, a 4,5 : 100 = 0,045.
• Mnożenie dwóch ułamków dziesiętnych: mnożymy jak liczby naturalne, a w wyniku oddzielamy przecinkiem tyle cyfr, ile było po przecinku w obu czynnikach razem. Przy 2,4 · 1,5 liczymy 24 · 15 = 360 i oddzielamy dwie cyfry: 3,60, czyli 3,6.
• Dzielenie przez liczbę naturalną: 7,5 : 3 = 2,5. Przy dzieleniu przez ułamek dziesiętny przesuwamy przecinek w dzielnej i w dzielniku o tyle samo miejsc: 4,8 : 0,6 = 48 : 6 = 8.
• Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie: ¾ = 0,75, ⅕ = 0,2, ⅜ = 3 : 8 = 0,375. Niektóre ułamki, jak ⅓ = 0,333…, dają rozwinięcie, które nigdy się nie kończy.
• Zaokrąglanie: 3,47 to w przybliżeniu 3,5 (do części dziesiątych) albo 3 (do jedności).
• Wyrażenia dwumianowane jako ułamki dziesiętne: 2 m 15 cm = 2,15 m, 3 kg 40 dag = 3,4 kg, 4 zł 5 gr = 4,05 zł.

Procenty pojawiają się zwykle dopiero w klasie 6 albo 7, zależnie od podręcznika, ale ułamki dziesiętne z klasy 5 to dla nich najlepsze przygotowanie.

Kąty, trójkąty i czworokąty

• Rodzaje kątów: ostry (mniejszy od 90°), prosty (90°), rozwarty (między 90° a 180°), półpełny (180°) i pełny (360°). Mierzenie i rysowanie kątów kątomierzem z dokładnością do 1°.
• Kąty przyległe dają razem 180°: jeśli jeden ma 130°, drugi ma 50°. Kąty wierzchołkowe, leżące naprzeciw siebie przy dwóch przecinających się prostych, są równe.
• Trójkąty według boków (równoboczny, równoramienny, różnoboczny) i według kątów (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny).
• Suma kątów w trójkącie to 180°: jeśli dwa kąty mają 50° i 60°, trzeci ma 180° − 110° = 70°. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe: gdy każdy ma 40°, kąt między ramionami ma 100°.
• Czworokąty: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez, ich boki, kąty i przekątne. Trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych, równoległobok dwie, a romb ma wszystkie boki równe.
• Suma kątów w czworokącie to 360°: w równoległoboku z kątem 70° pozostałe kąty mają 110°, 70° i 110°.
• Wysokość trójkąta i czworokąta, rysowana ekierką.

Pola figur i bryły

• Pole równoległoboku: P = a · h. Równoległobok o podstawie 6 cm i wysokości 4 cm ma pole 24 cm².
• Pole trójkąta: P = ½ · a · h. Trójkąt o podstawie 6 cm i wysokości 4 cm ma pole 12 cm², czyli połowę pola takiego równoległoboku.
• Pole rombu: P = a · h albo połowa iloczynu przekątnych. Romb o przekątnych 6 cm i 8 cm ma pole 6 · 8 : 2 = 24 cm².
• Pole trapezu: P = ½ · (a + b) · h. Trapez o podstawach 7 cm i 3 cm i wysokości 4 cm ma pole (7 + 3) · 4 : 2 = 20 cm².
• Jednostki pola: mm², cm², dm², m², km² oraz ar i hektar. 1 a = 100 m² (kwadrat 10 m na 10 m), 1 ha = 100 a = 10 000 m² (kwadrat 100 m na 100 m). Działka 20 m na 25 m ma 500 m², czyli 5 arów.
• Graniastosłupy: podstawy, ściany boczne, krawędzie i wierzchołki, siatki. Graniastosłup trójkątny ma 5 ścian, 9 krawędzi i 6 wierzchołków.
• W wielu podręcznikach także pole powierzchni i objętość prostopadłościanu: pudełko 5 cm na 4 cm na 3 cm ma objętość 5 · 4 · 3 = 60 cm³ i pole powierzchni 2 · (20 + 15 + 12) = 94 cm².

Czas, pieniądze i zadania tekstowe

• Rozkłady jazdy i czas podróży: pociąg odjeżdża o 10:45 i przyjeżdża o 13:20, więc jedzie 2 godziny 35 minut.
• Ułamki godziny: ¾ godziny to 45 minut, 1,5 godziny to 90 minut, a 0,2 godziny to 12 minut.
• Zakupy z ułamkami dziesiętnymi: 3 zeszyty po 4,50 zł kosztują 13,50 zł, a z banknotu 20 zł zostaje 6,50 zł reszty.
• Porównywanie cen: 2 kg jabłek za 7,80 zł to 3,90 zł za kilogram, a 3 kg za 11,10 zł to 3,70 zł za kilogram, więc większa paczka wychodzi taniej.
• Zadania tekstowe rozwiązywane etapami, z zapisem „Dane, Szukane, Rozwiązanie, Odpowiedź” i odpowiedzią pełnym zdaniem.

Dane i diagramy

• Odczytywanie i rysowanie diagramów słupkowych i wykresów, na przykład temperatury w kolejnych dniach tygodnia.
• Tabele, plany lekcji i paragony ze sklepu jako źródło danych do zadań.
• Proste ankiety w klasie i przedstawianie ich wyników. Średnia arytmetyczna wchodzi do klas 4–6 dopiero z nową podstawą.

Wzory i wyrażenia z literami

• Wzory zapisane literami, które opisują każdy przypadek: obwód prostokąta to 2 · a + 2 · b, więc prostokąt 5 cm na 3 cm ma obwód 10 + 6 = 16 cm.
• Reguły ciągów liczb, także z ułamkami dziesiętnymi: 0,5; 1,25; 2; 2,75… rośnie co 0,75, więc następna liczba to 3,5.
• W niektórych podręcznikach pierwsze wyrażenia z literą. Proste równania przychodzą zwykle w klasie 6.

Liczenie w pamięci

Liczenie w pamięci nie znika, gdy pojawiają się słupki. Dzieci uczą się sprytnych sposobów: 25 · 4 = 100 i 125 · 8 = 1000, więc 25 · 36 = 25 · 4 · 9 = 900; 99 · 6 to 600 − 6 = 594; 4,5 · 20 to 4,5 · 2 · 10 = 90. Warto znać na pamięć ½ = 0,5, ¼ = 0,25, ¾ = 0,75 i ⅕ = 0,2, bo te pary wracają w każdym dziale. Więcej sposobów znajdziesz w poradniku o strategiach liczenia w pamięci.

Na koniec klasy 5 większość dzieci potrafi…

• sprawdzić cechami podzielności, czy liczba dzieli się przez 2, 3, 4, 5, 9 i 10
• rozpoznać liczby pierwsze i złożone oraz rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, na przykład 84 = 2 · 2 · 3 · 7
• mnożyć i dzielić pisemnie przez liczby dwucyfrowe, na przykład 864 : 24 = 36, i sprawdzić wynik
• skracać i rozszerzać ułamki oraz sprowadzać je do wspólnego mianownika
• dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić ułamki zwykłe i liczby mieszane
• wykonywać cztery działania na ułamkach dziesiętnych i pilnować przecinka
• zamieniać ułamki zwykłe na dziesiętne, na przykład ¾ = 0,75
• rozpoznawać rodzaje trójkątów i czworokątów i korzystać z sum kątów: 180° w trójkącie, 360° w czworokącie
• obliczać pola równoległoboku, rombu, trójkąta i trapezu oraz posługiwać się arami i hektarami
• czytać diagramy, wykresy i rozkłady jazdy i rozwiązywać zadania tekstowe w kilku krokach

Ważne słowa

Te i inne pojęcia znajdziesz w słowniczku matematycznym.

Sprawdziany i oceny w klasie 5

W klasie 5 nie ma żadnego ogólnopolskiego testu ani egzaminu. Oceny od 1 do 6 nauczyciel wystawia za sprawdziany (klasówki) na koniec działu, za krótkie kartkówki, pracę na lekcji i odpowiedzi przy tablicy, a zasady opisują statut szkoły i przedmiotowe zasady oceniania. Na co dzień często dochodzą plusy i minusy (4+, 5−). Średnia ocen rocznych co najmniej 4,75 i co najmniej bardzo dobre zachowanie dają świadectwo z wyróżnieniem, „z czerwonym paskiem”.

Praca domowa w klasach 4–8 nie jest obowiązkowa i nie dostaje się za nią ocen. Od września 2026 roku nauczyciel sprawdza każdą wykonaną pisemną pracę domową i daje dziecku informację zwrotną, a statut szkoły może przewidywać, że regularne odrabianie prac pomoże podwyższyć ocenę roczną. Jedyny egzamin w szkole podstawowej to egzamin ósmoklasisty w klasie 8. Ułamki, działania pisemne i geometria z klasy 5 wracają na nim, więc solidne podstawy teraz to spokojniejsze klasy 7 i 8. Więcej przeczytasz w przewodniku o ocenach, sprawdzianach i egzaminach z matematyki.

Jak pomóc w domu

• Tabliczka mnożenia na wyrywki. Dzielenie pisemne, skracanie ułamków i cechy podzielności opierają się na niej. Jeśli 7 · 8 albo 6 · 9 wciąż sprawia kłopot, wróćcie do niej na kilka minut dziennie. Pomysły znajdziesz w poradniku o ćwiczeniu tabliczki mnożenia.
• Polowanie na liczby pierwsze. Numery domów, tramwajów i stron w książce: czy ta liczba jest pierwsza? Czy dzieli się przez 3? Suma cyfr podpowie.
• Gotowanie z ułamkami. Przepis na naleśniki dla czterech osób przelicz na osiem: ¾ szklanki mąki razy 2 to 1½ szklanki. A pół porcji?
• Paragon i ceny za kilogram. Po zakupach sprawdźcie paragon: ile kosztowały 3 drożdżówki po 3,50 zł? Która paczka makaronu wychodzi taniej w przeliczeniu na kilogram?
• Ary na działce. Zmierzcie pokój, balkon albo działkę u dziadków i policzcie pole. Ile arów ma działka 30 m na 40 m? (1200 m², czyli 12 arów.)
• Kąty na zegarze. O ile stopni obraca się wskazówka minutowa w 15 minut? (O 90°, czyli o kąt prosty.) A w 20 minut? (O 120°.)

Więcej pomysłów znajdziesz w przewodniku o matematyce na co dzień.

Darmowe karty pracy dla klasy 5

Wydrukuj je do ćwiczeń w domu albo w klasie. Na drugiej stronie każdej karty są odpowiedzi.

Zaokrąglanie liczbKlasa 4, Klasa 5 · Do dziesiątek, setek i tysięcyPobierz PDF

Ułamek liczbyKlasa 4, Klasa 5 · Na przykład ½ liczby 12 i ¾ liczby 20Pobierz PDF

Rozszerzanie ułamkówKlasa 5, Klasa 6 · Ułamki równe: znajdź brakującą liczbęPobierz PDF

Części dziesiąte i setneKlasa 4, Klasa 5 · Ułamki zwykłe jako ułamki dziesiętnePobierz PDF

Obwód i poleKlasa 4, Klasa 5 · Prostokąty na kratkachPobierz PDF

Działania z okienkiemKlasa 3, Klasa 4, Klasa 5 · Jaka liczba kryje się w okienku?Pobierz PDF

Szybkie odpowiedzi

Ucz się dalej